Question

已知圓的方程為x²+y²-6x-8y=0；a₁，a₂，…，a₁₁是該圓過(guò)點(diǎn)（3，5）的11條弦的長(zhǎng)，若數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₁是等差數(shù)列，則數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₁的公差的最大值為

 

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，當(dāng)a₁為最短的一條弦，a₁₁為最長(zhǎng)的一條弦時(shí)，數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₁的公差達(dá)到最大，根據(jù)圖形求出最短的弦長(zhǎng)得到數(shù)列首項(xiàng)a₁的值，最長(zhǎng)的弦為圓的直徑，由直徑的值即可得到a₁₁的值，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a₁₁減去a₁的值等于10倍的公差d，列出關(guān)于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的最大值．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-3）²+（y-4）²=25，
所以圓心A（3，4），圓的半徑r=5，
根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖所示：
得到弦DE為過(guò)點(diǎn)F（3，5）最長(zhǎng)的弦即為圓的直徑等于10，則a₁₁=10，
弦BC為過(guò)點(diǎn)F（3，5）最短的弦，又|AB|=5，|AF|=1，
則|BC|=2|BF|=2

52-1

=4

6

，即a₁=4

6

，
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：10d=10-4

6

，解得d=1-

2 6

5

．
則數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₁的公差的最大值為1-

2 6

5

．
故答案為：1-

2 6

5

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理化簡(jiǎn)求值，要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．找出最長(zhǎng)的弦和最短的弦是求最大公差的關(guān)鍵．