Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

-log₂

1+x

1-x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，解得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）先分析函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，結(jié)合減-增=減的性質(zhì)，可判斷出f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）由題可知

x≠0 1+x 1-x ＞0

，解得x∈（-1，0）∪（0，1），
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，0）∪（0，1）．          （4分）
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
事實(shí)上，函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且對(duì)定義域內(nèi)的任意x，有
f（-x）=

1

-x

-log₂

1-x

1+x

=-（

1

x

-log₂

1+x

1-x

）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．                         （8分）
（3）由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得：
y=

1+x

1-x

=

-2

x-1

-1在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，
故y=log₂

1+x

1-x

在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，
又由y=

1

x

在區(qū)間（0，1）上為減增函數(shù)，
故f（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的定義域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．