Question

4．若函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），0≤x≤1}\\{sinπx，1＜x≤2}\end{array}\right.$，則f（$\frac{41}{6}$）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，f（$\frac{41}{6}$）=f（-$\frac{7}{6}$）=-$f（\frac{7}{6}）$，在根據(jù)在[0，2]上的解析式即可求解．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，
則有：f（x+4）=f（x）
f（-x）=-f（x）
∴f（$\frac{41}{6}$）=f（-$\frac{7}{6}$）=-$f（\frac{7}{6}）$，
又∵在[0，2]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），0≤x≤1}\\{sinπx，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
∵$1＜\frac{7}{6}＜2$
∴$f（\frac{7}{6}）$=sin$\frac{7π}{6}$=$-\frac{1}{2}$
所以：f（$\frac{41}{6}$）=f（-$\frac{7}{6}$）=-$f（\frac{7}{6}）$=$-（-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了周期性函數(shù)的計算和函數(shù)值的帶值計算能力（注意定義域范圍）．屬于基礎(chǔ)題．