Question

已知向量

a

=（cos α，sin α），

b

=（cos β，sin β），

c

=（1，2）且

a

•

b

=

2

2

，
（1）求cos（α-β）；
（2）若

a

∥

c

，且0＜β＜α＜

π

2

，求cosβ．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；
（2）首先，根據(jù)向量共線條件，得到2cosα-sinα=0，然后，根據(jù)這個(gè)條件，求解cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

，最后，利用角的靈活拆分，求解cosβ．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（cos α，sin α），

b

=（cos β，sin β），且

a

•

b

=

2

2

，
∴（cos α，sin α）•（cos β，sin β）=

2

2

，
化簡(jiǎn)，得
cos（α-β）=

2

2

，
∴cos（α-β）的值為

2

2

；
（2）∵

a

∥

c

，

a

=（cos α，sin α），

c

=（1，2）
∴2cosα-sinα=0，
∵0＜β＜α＜

π

2

，
∴cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

，
sin（α-β）=

2

2

，
∵cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

5

5

•

2

2

+

2 5

5

•

2

2

=

3 10

10

．
∴cosβ=

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式、兩角差的余弦公式、三角函數(shù)等知識(shí)，考查公式比較密集，需要準(zhǔn)確理解和把握公式及其運(yùn)用技巧．