Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，則當(dāng)在此橢圓上存在不同兩點關(guān)于直線y=4x+m對稱時m的取值范圍為（　�。�

• A．-

  13

  13

  ≤m≤

  13

  13

• B．-

  2 13

  13

  ＜m＜

  2 13

  13

• C．-

  13

  13

  ＜m＜

  13

  13

• D．-

  2 13

  13

  ≤m≤

  2 13

  13

Answer 1

分析：設(shè)橢圓上兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=4x+m對稱，AB中點為M（x₀，y₀），利用平方差法與直線y=4x+m可求得x₀=-m，y₀=-3m，點M（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，將其坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得m的取值范圍．

解答：解：∵

x2

4

+

y2

3

=1，故3x²+4y²-12=0，
設(shè)橢圓上兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=4x+m對稱，AB中點為M（x₀，y₀），
則 3x12+4y12=12，①
3x22+4y22=12 ②
①-②得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，即 3•2x₀•（x₁-x₂）+4•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

•

x0

y0

=-

1

4

．
∴y₀=3x₀，代入直線方程y=4x+m得x₀=-m，y₀=-3m；
因為（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，
∴3m²+4•（-3m）²＜12，即3m²+36m²＜12，解得-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．
故選B．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查平方差法的應(yīng)用，突出化歸思想的考查，屬于難題．