Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1，過點M（-1，0）作直線l交橢圓于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）求AB中點P的軌跡方程；
（2）求△OAB面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用點差法，結合中點坐標公式，即可求AB中點P的軌跡方程；
（2）令l：x=hy-1代入x²+4y²=4，利用韋達定理，表示出△OAB面積，利用函數的單調性，即可求△OAB面積的最大值，及此時直線l的方程．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
則

x 2 1 4 + y 2 1 =1，(1) x 2 2 4 + y 2 2 =1，(2)

（1）-（2），得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴

x

4

+

y

x+1

•y=0，即x²+x+4y²=0
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
令l：x=hy-1代入x²+4y²=4，得（4+h²）y²-2hy-3=0，△=16（h²+3）＞0，
y₁+y₂=

2h

4+h2

，y₁y₂=-

3

4+h2

∴S=

1

2

•|OM|•|y1-y2|=

1

2

•

△

4+h2

=

2 h2+3

h2+4

，
令

h2+3

=t≥

3

，則S=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

在[

3

，+∞)上單調遞減，
∴t=

3

，即h=0時，Smax=

3

2

，此時l：x=-1．

點評：本題考查點差法的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查函數最值的求法，正確表示三角形的面積是關鍵．