Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且

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，a_n，S_n成等差數(shù)列，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；  
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得到Sn=2an-

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，從而推導(dǎo)出{a_n}是以

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為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）b_n=log₂a_n=n-7，由此利用分類討論思想能求出數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
首項(xiàng)為a₁，且

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，a_n，S_n成等差數(shù)列，
∴2an=

1

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+Sn，即Sn=2an-

1

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，①
n=1時(shí)，a1=S1=2a1-

1

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，解得a1=

1

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．
n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-

1

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，②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴

an

an-1

=2，
∴{a_n}是以

1

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為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=

1

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•2n-1=2^n-7．
（2）b_n=log₂a_n=log22n-7=n-7，
∴n≤7時(shí)，數(shù)列{|b_n|}是以6為首項(xiàng)，-1為公差的等比數(shù)列，
其前n項(xiàng)和T_n=6n+

n(n-1)

2

×(-1)=

13n-n2

2

．
當(dāng)n＞7時(shí)，
數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和：
T_n=-6n+

n(n-1)

2

×1-2（-7-6-5-4-3-2-1）
=

n2

2

-

13

2

n+56．
∴T_n=

13n-n2 2 ，n≤7 n2 2 - 13 2 n+56，n＞7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．