Question

為了迎接2014年3月30日在鄭州舉行的“中國(guó)鄭開(kāi)國(guó)際馬拉松賽”，舉辦單位在活動(dòng)推介晚會(huì)上進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)盒中裝有6個(gè)大小相同的小球，分別印有“鄭開(kāi)馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標(biāo)志，搖勻后，參加者每次從盒中同時(shí)抽取兩個(gè)小球（取出后不再放回），若抽到的兩個(gè)球都印有“鄭開(kāi)馬拉松”標(biāo)志即可獲獎(jiǎng)．并停止取球；否則繼續(xù)抽取，第一次取球就抽中或一等獎(jiǎng)，第二次取球抽中獲二等獎(jiǎng)，第三次取球抽中獲三等獎(jiǎng)，沒(méi)有抽中不獲獎(jiǎng)．活動(dòng)開(kāi)始后，一位參加者問(wèn)：“盒中有幾個(gè)印有‘鄭開(kāi)馬拉松’的小球？”主持人說(shuō)：“我只知道第一次從盒中同時(shí)抽兩球，不都是‘美麗綠城行’標(biāo)志的概率是

4

5

．”
（Ⅰ）求盒中印有“鄭開(kāi)馬拉松”小球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若用η表示這位參加者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)印有“美麗綠城行”的球有n個(gè)，同時(shí)抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件A，則同時(shí)抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是P(

.

A

)=

C 2 n

C 2 6

，由此能求出n=3．
（Ⅱ）由已知，兩種球各三個(gè)，故η可能取值分別為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出η的分布列及期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)印有“美麗綠城行”的球有n個(gè)，
同時(shí)抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件A，
則同時(shí)抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是P(

.

A

)=

C 2 n

C 2 6

，（3分）
由對(duì)立事件的概率：P（A）=1-P(

.

A

)=

4

5

．
即P(

.

A

)=

C 2 n

C 2 6

=

1

5

，解得n=3．（5分）
（Ⅱ）由已知，兩種球各三個(gè)，故η可能取值分別為1，2，3，（6分）．（7分）   
P(η=2)=

C 2 3

C 2 6

•

C 2 3

C 2 4

+

C 1 3 C 1 3

C 2 6

•

C 2 2

C 2 4

=

1

5

，（9分）
P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)=

3

5

，
則η的分布列為：

η	1	2	3
P	1 5	1 5	3 5

（11分）
所以Eη=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

3

5

=

12

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查小球個(gè)數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．