(Ⅰ)求f(0)和f(1)的值;
(Ⅱ)設(shè)Pn-1Pn的斜率為kn(n=1,2,3,4,5),判斷k1,k2,k3,k4,k5的大小關(guān)系;
(Ⅲ)證明:當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)<x;
(Ⅳ)求由函數(shù)y=x與y=f(x)的圖象所圍成圖形的面積(用a1,a2,a3,a4,a5表示).
20.本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識,考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.
(Ⅰ)解:f(0)==0,
f(1)==1.
(Ⅱ)解:kn==,n=1,2,…,5,
因為a1<a2<a3<a4<a5,
所以k1<k2<k3<k4<k5.
(Ⅲ)證明:由于f(x)的圖象是連接各點Pn(xn,yn)(n=0,1,…,5)的折線,要證明f(x)<x(0<x<1),只需證明f(xn)<xn(n=1,2,3,4).事實上,當(dāng)x∈(xn-1,xn)時,
f(x)=(x-xn-1)+f(xn-1)
=f(xn-1)+f(xn)
<xn-1+xn=x.
下面證明f(xn)<xn .
證法一:
對任何n(n=1,2,3,4),
5(a1+…+an)=[n+(5-n)](a1+…+an)
=n(a1+…+an)+(5-n)(a1+…+an)
≤n(a1+…+an)+(5-n)nan
=n[a1+…+an+(5-n)an]
<n(a1+…+an+an+1+…+a5)=nT,
所以f(xn)=<=xn .
證法二:
對任何n(n=1,2,3,4),
當(dāng)kn<1時,
yn=(y1-y0)+(y2-y1)+…+(yn-yn-1)
=(k1+k2+…+kn)<=xn.
當(dāng)kn≥1時,
yn=y5-(y5-yn)
=1-[(yn+1-yn)+(yn+2-yn+1)+…+(y5-y4)]
=1-(kn+1+kn+2+…+k5)<1-(5-n)==xn,
綜上,f(xn)<xn.
(Ⅳ)解:設(shè)S1為[0,1]上折線f(x)與x軸及直線x=1所圍成圖形的面積,則
S1=(y0+y1)(x1-x0)+(y1+y2)(x2-x1)+(y2+y3)(x3-x2)+(y3+y4)(x4-x3)+(y4+y5)(x5-x4)
=(2y1+2y2+2y3+2y4+y5)
=[a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+(a1+a2+a3+a4)]+
=(
直線y=x與折線y=f(x)所圍成圖形的面積為
S=-S1=.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
n |
5 |
1 |
T |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)求f(0)和f(1)的值;
(2)設(shè)Pn-1Pn的斜率為kn(n=1,2,3,4,5),判斷k1、k2、k3、k4、k5的大小關(guān)系;
(3)證明當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)<x.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(Ⅰ)求f(0)和f(1)的值;
(Ⅱ)設(shè)Pn-1Pn的斜率為kn(n=1,2,3,4,5),判斷k1,k2,k3,k4,k5的大小關(guān)系;
(Ⅲ)證明:f(xn)<xn(n=1,2,3,4).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年北京市通州區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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