Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=1，M為AB的中點(diǎn)，N為A₁B₁上的點(diǎn)，且A₁N=2NB₁．
（1）求證：CM⊥平面ABB₁A₁；
（2）求異面直線MN與B₁C₁所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AA₁⊥CM和△ACB的特征可得CM⊥AB然后利用線面垂直的判定定理即可得證．
（2）根據(jù)題意可依C為原點(diǎn)，射線CA、CB、CC₁分別x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系然后可求出

MN

=( -

1

6

 ， 

1

6

 ， 1 )

c1B1

=（0，1，0）再利用向量的夾角公式可求出MN與

C1B1

所成的角θ的余弦值為

38

38

（＞0）故根據(jù)夾角的范圍可得異面直線MN與B₁C₁所成角的大小為arccos

38

38

．

解答：證明：（1）依題意，

CM⊥AB AA1⊥底面 ABC⇒AA1⊥CM

⇒CM⊥平面ABB₁A₁．
（2）以C為原點(diǎn)，射線CA、CB、CC₁分別x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系
則A ( 1 ， 0 ， 0 ) ， B ( 0 ， 1 ， 0 ) ， M ( 

1

2

 ， 

1

2

 ， 0 ) ， N ( 

1

3

 ， 

2

3

 ， 1 ) ， C1( 0 ， 0 ， 1 ) ， B1( 0 ， 1 ， 1 )．
∴

MN

=( -

1

6

 ， 

1

6

 ， 1 )，

c1B1

=（0，1，0）
設(shè)MN與

C1B1

所成的角為θ，cosθ=

MN • C1B1

| MN |•| C1B1 |

=

38

38

，θ=arccos

38

38

故異面直線MN與B₁C₁所成角的大小為arccos

38

38

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的證明和異面直線所成的角．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中條件找到符合線面垂直的判定定理的條件而對(duì)于異面直線所成的角的求解通常可根據(jù)所給圖形的特征建立空間直角坐標(biāo)系求出相應(yīng)直線所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)然后利用向量的夾角公式所得出的余弦值的正負(fù)再結(jié)合異面直線所成的角的范圍（0，

π

，2

]即可求解！