Question

（2005•金山區(qū)一模）函數(shù)f（x）=

x

ax+b

（a，b是非零實(shí)常數(shù)），滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有且僅有一個(gè)解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在實(shí)常數(shù)m，使得對(duì)定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？為什么？
（3）在直角坐標(biāo)系中，求定點(diǎn)A（-3，1）到此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P的距離|AP|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程f（x）=x，可知x=0一定是方程

x

ax+b

=x的解，從而有方程

1

ax+b

=1無(wú)解或有解為0，再進(jìn)行分類討論，可求a、b的值；
（2）由（1）知f（x）=

2x

x+2

，假設(shè)存在常數(shù)m，使得對(duì)定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，賦值x=0，，可求參數(shù)m的值，再驗(yàn)證此時(shí)等式恒成立即可；
（3）先表示出|AP|²，再利用換元法，求解時(shí)整體考慮，利用配方法求解

解答：解：（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程

x

ax+b

=x的解，
所以

1

ax+b

=1無(wú)解或有解為0，（3分）
若無(wú)解，則ax+b=1無(wú)解，得a=0，矛盾，
若有解為0，則b=1，所以a=

1

2

． （6分）
（2）f（x）=

2x

x+2

，設(shè)存在常數(shù)m，使得對(duì)定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，
取x=0，則f（0）+f（m-0）=4，即

2m

m+2

=4，m=-4（必要性）（8分）
又m=-4時(shí)，f（x）+f（-4-x）=

2x

x+2

+

2(-4-x)

-4-x+2

=…=4成立（充分性） （10分）
所以存在常數(shù)m=-4，使得對(duì)定義域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）
（3）|AP|²=（x+3）²+（

x-2

x+2

）²，設(shè)x+2=t，t≠0，（13分）
則|AP|²=（t+1）²+（

t-4

t

）²=t²+2t+2-

8

t

+

16

t2

=（t²+

16

t2

）+2（t-

4

t

）+2=（t-

4

t

）²+2（t-

4

t

）+10
=（ t-

4

t

+1）²+9，（16分）
所以當(dāng)t-

4

t

+1=0時(shí)即t=

-1± 17

2

，也就是x=

-5± 17

2

時(shí)，
|AP|_min=3 （18分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是恒成立問(wèn)題，主要考查方程解的問(wèn)題，考查利用賦值法求解恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是審清題意，合理轉(zhuǎn)化，注意賦值法求解恒成立問(wèn)題時(shí)，應(yīng)需要驗(yàn)證其恒成立．