Question

（2005•金山區(qū)一模）對于集合N={1，2，3，…，n}的每一個非空子集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數開始交替地減、加后繼的數．例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6，集合{5}的交替和為5．當集合N中的n=2時，集合N={1，2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1，2}，則它的“交替和”的總和S₂=1+2+（2-1）=4，請你嘗試對n=3、n=4的情況，計算它的“交替和”的總和S₃、S₄，并根據其結果猜測集合N={1，2，3，…，n}的每一個非空子集的“交替和”的總和S_n=

n•2^n-1

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Answer 1

分析：根據“交替和”的定義：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數開始交替地減、加后繼的數可求出“交替和”的總和S₃、S₄，并根據其結果猜測集合N={1，2，3，…，n}的每一個非空子集的“交替和”的總和S_n即可．

解答：解：S₁=1 S₂=4
當n=3時 S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12
S₄=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3）+（3-2+1）+（4-2+1）+（4-3+1）+（4-3+2）+（4-3+2-1）=32
∴根據前4項猜測集合N={1，2，3，…，n}的每一個非空子集的“交替和”的總和Sn=n•2^n-1
故答案為：n•2^n-1

點評：本題主要考查了數列的應用，同時考查了歸納推理的能力，屬于中檔題．