Question

已知橢圓C1+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線(xiàn)C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，M是C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|MF₂|=．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C₁上，對(duì)角線(xiàn)BD所在的直線(xiàn)的斜率為1．
①當(dāng)直線(xiàn)BD過(guò)點(diǎn)（0，）時(shí)，求直線(xiàn)AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)右焦點(diǎn)F₂也是拋物線(xiàn)C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，且|MF₂|=，可求出F₂，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，并代入拋物線(xiàn)方程，可求其縱坐標(biāo)；把點(diǎn)M代入橢圓方程，以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，解方程即可求得橢圓C₁的方程；
（2）①直線(xiàn)BD所在的直線(xiàn)的斜率為1，且過(guò)點(diǎn)（0，），可求出BD的方程，∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，設(shè)直線(xiàn)ACy=-x+m，聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，△＞0，利用韋達(dá)定理即可求得AC的中點(diǎn)，在直線(xiàn)BD上，可求直線(xiàn)AC的方程；②ABCD為菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，菱形ABCD面積的最大值，轉(zhuǎn)化為求弦AC的最大值，利用韋達(dá)定理求出AC的長(zhǎng)度，并求其最大值即可．
解答：解：（1）設(shè)M（x₁，y₁）∵．
由拋物線(xiàn)定義，，∴，∴．
∴在c₁上，，又b²=a²-1
∴9a⁴-37a²+4=0∴a²=4或舍去．
∴a²=4，b²=3
∴橢圓c₁的方程為．
（2）①直線(xiàn)BD的方程為
∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，設(shè)直線(xiàn)AC為y=-x+m，
由，得7x²-8mx+4m²-12=0
∵A，C、在橢圓C₁上，∴△＞0解得，
設(shè)A（x₁，y₁），c（x₂，y₂），
則，，
的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
由ABCD為菱形可知，點(diǎn)在直線(xiàn)上，
∴．
∴直線(xiàn)AC的方程為y=-x-1
即x+y+1=0．
②∵ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
∴|AB|=|BC|=|CA|，
∴菱形ABCD的面積


=．
∴當(dāng)m=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線(xiàn)和橢圓相交中的有關(guān)中點(diǎn)弦的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，特別是問(wèn)題（2）的設(shè)問(wèn)形式，增加了題目的難度，注意直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交，△＞0．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．