Question

18．已知不恒為零的函數f（x）=xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）是偶函數．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式f（x-2）＜log₂（1+$\sqrt{2}$）的解集．

Answer 1

分析 （1）根據f（-x）=f（x），求得a、b的值．
（2）不等式等價于 f（x-2）＜f（1），即|x-2|＜1，求得x的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）=xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）=f（-x）=-xlog₂（-ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$），
即x${log}_{2}（{ax}^{2}+b{{-a}^{2}x}^{2}）$=0，$\left\{\begin{array}{l}{a{-a}^{2}=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
經過檢驗，當a=1，b=1時，滿足f（x）是偶函數，故a=1，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=xlog₂（x+$\sqrt{{x^2}+1}$），顯然在x∈（0，+∞）上，f（x）是增函數，
f（x-2）＜log₂（1+$\sqrt{2}$），等價于 f（x-2）＜log₂（1+$\sqrt{2}$）=f（1），
∵f（-x）=f（x）=f（|x|），∴f（|x-2|）＜f（1），|x-2|＜1，求得x∈（1，3）．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的性質，函數的單調性的應用，屬于中檔題．