Question

【題目】（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得等式 對(duì)于一切正整數(shù)都成立？若存在，求出，，的值并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（2）求證：對(duì)任意的，.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）對(duì)n進(jìn)行賦值，代入，求解方程組可求,證明使用數(shù)學(xué)歸納法；

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明.

（1）在等式 中

令得①；令得②；

令得③；由①②③解得

對(duì)于都有 成立.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切正整數(shù)，式都成立.

①當(dāng)時(shí)，由上所述知式成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)式成立，

即 ，

那么當(dāng)時(shí)，

綜上：由①②得對(duì)一切正整數(shù)，式都成立，所以存在時(shí)題設(shè)的等

式對(duì)于一切正整數(shù)都成立.

（2）證明：

①當(dāng)時(shí)，左式，右式，所以左式<右式，則時(shí)不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，

那么當(dāng)時(shí)，

下面證明當(dāng)時(shí)，.

設(shè) ，則所以在上單調(diào)增，所以即時(shí)，.

因?yàn)?/span>，所以則

因?yàn)?/span>

所以

由得

那么時(shí)不等式也成立.

綜上：由①②可得對(duì)任意 .