Question

已知2f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），則下列說(shuō)法正確的為（　�。�

A．f（x）為奇函數(shù)且在（0，+∞）上為增函數(shù)

B．f（x）為奇函數(shù)且在（0，+∞）上為減函數(shù)

C．f（x）為偶函數(shù)且在（0，+∞）上為增函數(shù)

D．f（x）為偶函數(shù)且在（0，+∞）上為減函數(shù)

Answer 1

分析：通過(guò)函數(shù)的關(guān)系求出函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷單調(diào)區(qū)間即可得到選項(xiàng)．

解答：解：因?yàn)?f（x）+f（

1

x

）=-

3

x

（x≠0），…①
所以2f（

1

x

）+f（x）=-3x（x≠0），…②，
解①②得f（x）=x-

2

x

，函數(shù)滿足f（-x）=-f（x），所以函數(shù)是奇函數(shù)．
又可判斷出g（x）=-

2

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)．所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．