Question

11．已知函數(shù)y=|x-1|+|x+7|的最小值為n，則二項式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)為56（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的幾何意義求出n的值，再利用二項式展開式的通項公式求出展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)．

解答 解：由于f（x）=|x-1|+|x+7|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1和-7對應(yīng)點的距離之和，
它的最小值為8，故n=8；
二項式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•x^-r=${C}_{8}^{r}$•x^8-2r；
令8-2r=-2，解得r=5，
故二項式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$項的系數(shù)為
${C}_{8}^{5}$=${C}_{8}^{3}$=56．
故答案為：56．

點評 本題主要考查絕對值的意義以及利用二項展開式的通項公式求某項的系數(shù)問題，是基礎(chǔ)題目．