Question

計(jì)算：﹙-

1

2

+

3

2

i﹚ⁿ+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚²ⁿ﹙n∈Z﹚．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：直接利用-1的立方虛根的性質(zhì)化簡，即可得到結(jié)果．

解答： 解：∵（-

1

2

+

3

2

i）²=-

1

2

-

3

2

i．
（-

1

2

+

3

2

i）³=（-

1

2

+

3

2

i）（-

1

2

-

3

2

i）=1
當(dāng)n=3k+1，k∈Z時，﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^3k+1+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^6k+2
=﹙-

1

2

+

3

2

i﹚¹+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚²
=-

1

2

+

3

2

i-

1

2

-

3

2

i
=-1，
當(dāng)n=3k+2，k∈Z時，﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^3k+2+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^6k+4=﹙-

1

2

+

3

2

i﹚²+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚
=-

1

2

-

3

2

i+-

1

2

+

3

2

i=-1，
當(dāng)n=3k，k∈Z時，﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^3k+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^6k
=-1+1=0，
綜上，當(dāng)n=3k+1，3k+2，k∈Z時原式=-1，
當(dāng)n=3k，k∈Z時，原式=0，

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，乘方運(yùn)算，考查計(jì)算能力．