如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2.四邊形ABCD滿足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.E為側(cè)棱PB的中點(diǎn),F(xiàn)為側(cè)棱PC上的任意一點(diǎn).
(1)求證:平面AFD⊥平面PAB;
(2)是否存在點(diǎn)F,使得直線AF與平面PCD垂直?若存在,寫出證明過程并求出線段PF的長;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由面面垂直的性質(zhì),證出PA⊥平面ABCD,從而得出PA⊥AD.結(jié)合AB⊥CD且PA∩AB=A,得到AD⊥平面PAB,再由面面垂直的判定定理證出平面AFFD⊥平面PAB;
(2)Rt△PAC中,過點(diǎn)A作AF⊥PC于點(diǎn)F,由題意在四邊形ABCD中證出CD⊥AC,由PA⊥平面ABCD證出PA⊥CD,從而CD⊥平面PAC,得到CD⊥AF,由CD∩PC=C,證出AF⊥平面PCD.Rt△PAC中利用題中數(shù)據(jù)求出PC長,再用直角三角形的性質(zhì)算出PF長,可得存在點(diǎn)F滿足PF的長為
2
6
3
時(shí),直線AF與平面PCD垂直.
解答:解:(1)∵平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,
且PA?平面PAC,PA⊥AC.
∴PA⊥平面ABCD,
又∵AD?平面ABCD,∴PA⊥AD.
又∵AB⊥CD,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,
而AD?平面AFD,∴平面AFD⊥平面PAB.
(2)存在點(diǎn)F,使得直線AF與平面PCD垂直.證明如下:
在Rt△PAC中,過點(diǎn)A作AF⊥PC于點(diǎn)F,
由已知AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2.
可得CD⊥AC,
由(1)知PA⊥平面ABCD,可得PA⊥CD
又∵PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.
∵AF?平面PAC,∴CD⊥AF.
又∵CD∩PC=C,∴AF⊥平面PCD
∵在Rt△PAC中,PA=2,AC=
2
,∠PAC=90°,
∴PC=
PA2+AC2
=
6
,PF=
PA2
PC
=
2
6
3

因此,存在點(diǎn)F,當(dāng)線段PF的長為
2
6
3
時(shí),直線AF與平面PCD垂直.
點(diǎn)評:本題在四棱錐中證明面面垂直,并探索線面垂直的存在性.著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì),考查了直角三角形中有關(guān)計(jì)算的知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大。

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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