Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₁的直線與橢圓相較于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)△PQF₂內(nèi)切圓的面積為S，求S最大時(shí)圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，設(shè)出橢圓方程為$\frac{x^2}{{2{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}=1$，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)在橢圓上，求解即可．
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁的方程為x=ny-1，與橢圓聯(lián)立，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理求出|y₁-y₂|，令t=n²+1，利用基本不等式求出最值．然后求解△PQF₂面積最大值，得到PF₂的方程，圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{{2{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}=1$，
將$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$帶入上式，得m²=1．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…．（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁的方程為x=ny-1，與橢圓聯(lián)立得，（n²+2）y²-2ny-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{2n}{{{n^2}+2}}$，g（x），
∴$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{n^2}+1}}{{{{（{n^2}+2）}^2}}}}$…．（8分）
令t=n²+1，則$|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{{{t^2}+2t+1}}}=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{{t+\frac{1}{t}+2}}}≤\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=0時(shí)等號(hào)成立．
由題意，因?yàn)椤鱌QF₂的周長(zhǎng)為定值，
因此當(dāng)△PQF₂面積取最大值時(shí)，它的內(nèi)切圓面積S也取得最大值，
而${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}||{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|$，
所以，當(dāng)n=0時(shí)，S取得最大值．
此時(shí)，△PQF₂的內(nèi)切圓圓心一定在x軸上，
設(shè)其坐標(biāo)為（x₀，0），取點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
則PF₂的方程為$\sqrt{2}x+4y-\sqrt{2}=0$．
∴$|{{x_0}+1}|=\frac{{|{\sqrt{2}{x_0}-\sqrt{2}}|}}{{3\sqrt{2}}}=r$，得${x_0}=-\frac{1}{2}$或x₀=-2（舍）
∴$r=\frac{1}{2}$，圓心為$（-\frac{1}{2}，0）$，此時(shí)圓的方程為${（x+\frac{1}{2}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$．…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．