Question

已知在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．
（Ⅰ）求證AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PB=AD，求二面角F-BE-C的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出BCDE是平行四邊形，從而得到PE⊥AD，由此能證明AD⊥平面PBE．
（Ⅱ）設PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，取CD中點H，連接FH，GH，知GH∥AD，由已知條件推導出∠FGH為二面角F-BH-C的平面角，由此能求出二面角F-BE-C的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：由已知得ED∥BC，ED=BC，
∴BCDE是平行四邊形，∴BE∥CD，BE=CD，
∵AD⊥CD，∴BE⊥AD，
由PA=PD及E是AD的中點，得PE⊥AD，
又∵BE∩PE=E，∴AD⊥平面PBE．
（Ⅱ）解：設PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，
則PF=

3

a，又PB=AD=2a，EB=CD=a，
∴PB²=PE²+BE²，∴PE⊥BE，
又∵BE⊥AD，AD∩PE=E，
∴BE⊥平面PAD，得BE⊥PA，故BE⊥FG，
取CD中點H，連接FH，GH，知GH∥AD，因此GH⊥BE，
綜上可知∠FGH為二面角F-BH-C的平面角，
∵FG=

1

2

PA=a，F(xiàn)H=

1

2

PD=a，GH=

1

2

AD=a，
∴∠FGH=60°，
∴二面角F-BE-C等于60°．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．