Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，則不等式f（f（x））≤3的解集為（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，$\sqrt{3}$]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 由復合函數(shù)和分段函數(shù)分類討論可化不等式為幾個不等式組，解不等式組可得．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
當x＞0時，f（x）=-x²＜0，∴f（f（x））=（-x²）²+2（-x²）=x⁴-2x²，
不等式f（f（x））≤3可化為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{4}-2{x}^{2}≤3}\end{array}\right.$，解得0＜x≤$\sqrt{3}$；
當x=0時，f（x）=0，∴f（f（x））=0，不等式f（f（x））≤3可化為0≤3，可得x=0；
當-2＜x＜0時，f（x）=x²+2x＜0，∴f（f（x））=（x²+2x）²+2（x²+2x），
不等式f（f（x））≤3可化為（x²+2x）²+2（x²+2x）≤3，結(jié)合-2＜x＜0可得-2＜x＜0；
當x≤-2時，f（x）=x²+2x≥0，∴f（f（x））=-（x²+2x）²，
不等式f（f（x））≤3可化為-（x²+2x）²≤3，結(jié)合x≤-2可得x≤-2；
綜上可得不等式f（f（x））≤3解集為：（-∞，$\sqrt{3}$]
故選：C．

點評 本題考查分段函數(shù)和復合函數(shù)不等式，分類討論是解決問題的關鍵，屬中檔題．