【題目】已知, .
(1)求函數(shù)的增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)正實(shí)數(shù), 滿足,當(dāng)時(shí),求證:對(duì)任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù), 總有.
(參考求導(dǎo)公式: )
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo),對(duì)進(jìn)行分類討論,可得函數(shù)的增區(qū)間;
(2)由(1)知:若函數(shù)在的上為增函數(shù),函數(shù)有至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.
若 可知
要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則
以下證明函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即可
(3)證明:不妨設(shè),以為變量
令,
則
可以證明 ,所以在單調(diào)遞增;因?yàn)?/span>所以
這樣就證明了
試題解析:(1)由已知,令,
當(dāng)時(shí), ,函數(shù)的增區(qū)間
若 令,
函數(shù)的增區(qū)間為
綜合以上:當(dāng)時(shí),函數(shù)的增區(qū)間;若增區(qū)間為
(2)由(1)知:若函數(shù)在的上為增函數(shù),函數(shù)有至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意。
若 當(dāng), ,函數(shù)在的上為減函數(shù)
當(dāng) ,函數(shù)在的上為增函數(shù)
要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則
下證明: 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
而,所以在存在惟一零點(diǎn);
又
令 所以在上遞增,
所以的 所以在也存在惟一零點(diǎn);
綜上: 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
方法2:(先證: 有)
而
,所以在也存在惟一零點(diǎn);
綜上: ,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。
(3)證明:不妨設(shè),以為變量
令,
則
令,則
因?yàn)?/span>,所以;即在定義域內(nèi)遞增。
又因?yàn)?/span>且所以即,所以;又因?yàn)?/span>,所以
所以在單調(diào)遞增;因?yàn)?/span>所以
即
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是梯形,四邊形是矩形,且平面平面, , , , 是線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)試確定點(diǎn)的位置,使平面,并說(shuō)明理由;
(2)在(1)的條件下,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA= ,c=3b,且△ABC面積S△ABC= .
(1)求邊b.c;
(2)求邊a并判斷△ABC的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知多面體如圖所示,底面為矩形,其中平面, ,若分別是的中心,其中.
(1)證明: ;
(2)若二面角的余弦值為,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓M:x2+(y﹣4)2=4,點(diǎn)P是直線l:x﹣2y=0上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(1)當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為 時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若△PAM的外接圓為圓N,試問:當(dāng)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),圓N是否過(guò)定點(diǎn)?若存在,求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)求線段AB長(zhǎng)度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了檢測(cè)某輪胎公司生產(chǎn)的輪胎的寬度,需要抽檢一批輪胎(共10個(gè)輪胎),已知這批輪胎寬度(單位: )的折線圖如下圖所示:
(1)求這批輪胎寬度的平均值;
(2)現(xiàn)將這批輪胎送去質(zhì)檢部進(jìn)行抽檢,抽檢方案是:從這批輪胎中任取5個(gè)作檢驗(yàn),這5個(gè)輪胎的寬度都在內(nèi),則稱這批輪胎合格,如果抽檢不合格,就要重新再抽檢一次,若還是不合格,這批輪胎就認(rèn)定不合格.
求這批輪胎第一次抽檢就合格的概率;
記為這批輪胎的抽檢次數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若(a+b+c)(b+c﹣a)=3ab,且sinA=2sinBcosC,那么△ABC是( )
A.直角三角形
B.等邊三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
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