如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A1C1上，且DE⊥AE．

(Ⅰ)證明平面ADE⊥平面ACC1A1

(Ⅱ)求直線AD和平面ABC所成角的正弦值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)如圖所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面A1B1C1

　　又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1

　　而DE⊥AE．AA1∩AE＝A所以DE⊥平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．

　　(Ⅱ)解法1：如圖所示，設(shè)F使AB的中點(diǎn)，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質(zhì)及D是A1B1的中點(diǎn)知A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF

　　又C1D∩DF＝D，所以A1B1⊥平面C1DF，

　　而AB∥A1B1，所以

　　AB⊥平面C1DF，又AB平面ABC，故

　　平面ABC1⊥平面C1DF．

　　過點(diǎn)D做DH垂直C1F于點(diǎn)H，則DH⊥平面ABC1．

　　連接AH，則∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．

　　由已知AB＝AA1，不妨設(shè)AA1＝，則AB＝2，DF＝，DC1＝，

　　C1F＝，AD＝＝，DH＝＝－，

　　所以sin∠HAD＝＝．

　　即直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為．

　　解法2：如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，

　　以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)

　　AA1＝，則AB＝2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

　　


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，若二面角C-AB-C1的大小為60°，則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為（　�。�
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1CC1所成的角為a，則sina=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、G分別是AB、BB1、AC1的中點(diǎn)，AB=BB1=2．
（Ⅰ）在棱B1C1上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（Ⅲ）求B1到截面DEG的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AA1上，AN=
14
．
（Ⅰ）求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角C1-BM-C的正切值；
（Ⅲ）證明MN⊥BC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）如圖，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延長線上一點(diǎn)，過A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求證：MN∥平面CDE：
（II）當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí)，求三梭臺MNF-ABC的體積．

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