Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA₁上，AN=

1

4

．
（Ⅰ）求BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角C₁-BM-C的正切值；
（Ⅲ）證明MN⊥BC₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證出∠BC₁M為BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角，再求它的正弦值，利用反三角函數(shù)表示；
（Ⅱ）由二面角的定義證明∠C₁MC為二面角C₁-BM-C的平面角，在直角三角形中求解；
（Ⅲ）由勾股定理證出MN⊥C₁M，再證MN⊥平面BC₁M，由線面垂直的定義證出．

解答：解：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC
∴CC₁⊥BM
又M是正△ABC的AC邊的中點，
∴BM⊥AC∵CC₁∩AC=C
∴BM⊥平面ACC₁A₁（3分）
∴∠BC₁M為BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角
又BM=

3

，BC1=2

5

∴sin∠BC₁M=

15

10

（5分）
所以BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角為arcsin

15

10

．
（Ⅱ）由已知得CC₁⊥底面ABC，又CM⊥BM，
∴C₁M⊥BM
∴∠C₁MC為二面角C₁-BM-C的平面角，
∴tan∠C₁MC=4（9分）
（Ⅲ）證明：依題意得MN=

17

4

，C1M=

17

，C1N=

17

4

∵MN²+C₁M²=C₁N²
∴MN⊥C₁M（11分）
又由（Ⅰ）中BM⊥平面ACC₁A₁知BM⊥MN，且C₁M∩BM=M，
∴MN⊥平面BC₁M∴MN⊥BC₁（14分）

點評：本題考查了線面角和二面角的求法，作-證-求三個步驟，缺一不可；另外由勾股定理證線線垂直，這也是常用的方法，考查了邏輯推理能力和計算求解能力．