【題目】設(shè)橢圓:的左右焦點分別為，，上頂點為.

(Ⅰ)若.

(i)求橢圓的離心率;

(ii)設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)由橢圓上不同三點構(gòu)成的三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形，當(dāng)時，若以為直角頂點的橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形恰有3個，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)(i);(ii);(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)(i)由勾股定理化簡可得，進而可得橢圓的離心率;(ii)易知，故橢圓:，求出直線方程為:，聯(lián)立直線與橢圓的方程求出點坐標(biāo)，計算出，則，得到，進而得出橢圓方程;

(Ⅱ)設(shè)橢圓內(nèi)接等腰直角三角形的兩直角邊分別為，，設(shè)，，顯然，不與坐標(biāo)軸平行，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式求出，同理得出，化簡可得出關(guān)于的方程有兩個不同的正實根，，且都不為1，通過數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化求解即可.

(Ⅰ)(i)可知，，，

∵，∴，

∴.

∴.

(ii)由(i)知，，

∴橢圓:，

可知直線斜率為1，，，

則直線方程為:，

由，得，

得，，∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，∴，

∴橢圓的方程為:.

(Ⅱ)時，橢圓:，，

設(shè)橢圓內(nèi)接等腰直角三角形的兩直角邊分別為，，

設(shè)，，顯然，不與坐標(biāo)軸平行，且，

所以不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，

由，消去得到，

所以，，

求得，

同理可求.

因為為以為直角頂點的等腰直角三角形，所以，

所以，

整理得，

所以，

所以或，

所以或，

設(shè)，因為以為直角頂點的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形恰有三個，

所以關(guān)于的方程有兩個不同的正實根，，且都不為1.

∵，

所以，

解得實數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
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其中所有正確的命題序號是________.

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（1）求該顧客中獎的概率；

（2）若約定抽取的3張獎券都有獎時，還要另獎價值6元的獎品，求該顧客獲得的獎品總價值（元）的分布列和均值.

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A. 甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4

B. 乙地：總體均值為1，總體方差大于0

C. 丙地：總體均值為2，總體方差為3

D. 丁地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3

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A. 樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)

B. 樣本中層次身高人數(shù)最多

C. 樣本中層次身高的男生多于女生

D. 樣本中層次身高的女生有3人

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（2）求直線的斜率的取值范圍.

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