Question

常數(shù)a，b和正變量x，y滿足a•b=16，

a

x

+

2b

y

=

1

2

，若x+2y的最小值為64，則a^b=

64

．

Answer 1

分析：由

a

x

+

2b

y

=

1

2

，得

2a

x

+

4b

y

=1，∴x+2y=（x+2y）（

2a

x

+

4b

y

），
利用基本不等式可求得其最小值，從而得到一方程，再與ab=16聯(lián)立方程組即可解得a、b值．

解答：解：由題意知a＞0，b＞0，由

a

x

+

2b

y

=

1

2

可得

2a

x

+

4b

y

=1，
∵ab=16，∴x+2y=（x+2y）（

2a

x

+

4b

y

）
=2a+8b+

4ay

x

+

4bx

y

≥2a+8b+2

4ay x • 4bx y

=2a+8b+8

ab

=2a+8b+32，當且僅當

4ay

x

=

4bx

y

時取等號．
∴2a+8b+32=64，即a+4b=16①．又ab=16②聯(lián)立①②解得a=8，b=2．
∴a^b=8²=64．
故答案為：64．

點評：本題考查了基本不等式求最值，難度較大，解決本題的技巧是“1”的代換．求最值時，盡量避免多次使用基本不等式以保證能取到等號．