Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

3

，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點M（3，0）的直線l與橢圓C交于兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出半焦距，可得過焦點且垂直于長軸的直線方程，代入橢圓方程，利用過焦點且垂直于長軸的直線l被橢圓截得的弦長為1，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l的方程為y=k（x-3），代入橢圓方程，利用韋達定理，結合

OA

+

OB

=t

OP

，P為橢圓上一點，即可求實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（I）因為所求橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c=2

3

，
所以c=

3

．
設過焦點且垂直于長軸的直線為x=c．
因為過焦點且垂直于長軸的直線l被橢圓截得的弦長為1，
代入橢圓方程解得：y=±

b2

a

，即

b2

a

=

1

2

．
由

c= 3 a2=b2+c2 b2 a = 1 2

，解得

a=2 b=1 c= 3 .

，
所以所求橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）設過點M（3，0）的直線l的斜率為k，顯然k存在．
（1）當k=0時，

OA

+

OB

=

0

=t

OP

，所以t=0．
（2）當k≠0時，設直線l的方程為y=k（x-3）．
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，消y并整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0．
當△=24²k⁴-4（1+4k²）（36k²-4）＞0時，可得0＜k2＜

1

5

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

．
因為

OA

+

OB

=t

OP

，
所以（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x₀，y₀）．
所以x0=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，y0=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

．
由點P在橢圓上得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，
解得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

．
因為0＜k2＜

1

5

，
所以0＜4k2＜

4

5

．
所以1＜1+4k2＜

9

5

．
所以

5

9

＜

1

1+4k2

＜1．
所以5＜

9

1+4k2

＜9．
所以-9＜-

9

1+4k2

＜-5．
所以0＜9-

9

1+4k2

＜4．
所以0＜t²＜4．
所以t∈（-2，0）∪（0，2）．
綜合（1）（2）可知t∈（-2，2）…（13分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．