Question

已知y=f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，在區(qū)間[0，1）上是減函數(shù)，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，將f（1-a）+f（1-a²）＜0變形為f（1-a）＜-f（1-a²），又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，原不等式又可變形為f（1-a）＜f（a²-1），結(jié)合f（x）是減函數(shù)，可得1-a＞a²-1；再由函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），可得-1＜1-a＜1，-1＜1-a²＜1，解可得a的取值范圍，即得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，∵f（1-a）+f（1-a²）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-a²），
又∵f（x）是奇函數(shù)，則-f（1-a²）=f（a²-1），
∴f（1-a）＜f（a²-1），
又∵f（x）在區(qū)間[0，1）上是減函數(shù)，
則f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
∴有1-a＞a²-1；
又∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）；
∴-1＜1-a＜1，-1＜1-a²＜1；
綜合有

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1 1-a＞a2-1

，解可得0＜a＜1；
故a的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，解答的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略函數(shù)的定義域，而只解“1-a＞a²-1”一個(gè)方程．