Question

已知直線l過圓（x+4）²+y²=16的圓心C且垂直與x軸，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-6，0），點(diǎn)G是圓上任意一點(diǎn)．
（1）若直線FG與直線l相交 于點(diǎn)T，且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（2）過點(diǎn)F人作兩條互相垂直的弦，設(shè)其弦長為m．n，求m+n的最大值；
（3）在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得對圓C上任意的點(diǎn)G，都有|GP|=2|GF|？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意，求出直線FG的方程，圓心C到直線FG的距離d，利用勾股定理求出FG被圓C所截得的弦長；
（2）設(shè)兩條弦的弦心距為d₁，d₂，則d12+d22=4，利用基本不等式求出m+n的最大值；
（3）假設(shè)存在定點(diǎn)P（s，t）滿足題意，由|GP|=2|GF|點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵圓心C（-4，0），直線l：x=-4，F(xiàn)（-6，0），
根據(jù)題意設(shè)G（-5，y₀），代入（x+4）²+y²=16，
解得y₀=±

15

，∴k_FG=±

15

；
∴直線FG的方程為y=±

15

（x+6），
∴點(diǎn)C（-4，0）到直線FG的距離為d=

15

2

，
直線FG被圓C所截得的弦長為2

16-( 15 2 )2

=7；
（2）設(shè)兩條弦的弦心距分別為d₁，d₂，則d12+d22=4；
∴m+n=2（

16-d12

+

16-d22

）≤2×2

16-d12+16-d22 2

=4

14

，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d₂=

2

時取“=”，∴m+n的最大值是4

14

；
（3）假設(shè)存在定點(diǎn)P（s，t），設(shè)G（x₀，y₀），
則

(x0-s)2+(y0-t)2

=2

(x0+6)2+y02

，
整理得3（x02+y02）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0；…①
又點(diǎn)G在圓C上，∴(x0+4)2+y02=16，即x02+y02=-8x₀；…②
把②代入①，整理得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，
此時對圓上任意一點(diǎn)G（x₀，y₀）都成立，
∴

2s+24=0 2t=0 144-s2-t2=0

，解得

s=-12 t=0

；
∴存在定點(diǎn)P（-12，0），使得對圓C上的任一點(diǎn)G都有|GP|=2|GF|．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，求直線被圓截得弦長的問題，是難題．