Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-1．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=12，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，求出a₁=1，當(dāng)n≥2時，由S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1兩式作差相減得a_n=2a_n-1，從而得到{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出a_n=2^n-1．
（Ⅱ）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項式式及等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，求出等差數(shù)列的首項和公差，由此能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-1，①
∴當(dāng)n=1時，S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-1，②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理，得a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）由已知得

3b1+3d=12 (2+b1+d)2=(1+b1)(4+b1+2d)

，
解得

b1=3 d=1

或

b1=8 d=-4

，（舍）
∴T_n=3n+

n(n-1)

2

×1=

n2+5n

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．