精英家教網(wǎng)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,直線l1:y=-t2+8t(其中0≤t≤2.t為常數(shù));l2:x=2.若直線l1、l2與函數(shù)f(x)的圖象以及l(fā)1,y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
(1)求a、b、c的值.
(2)求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式.
分析:(1)由圖知(0,0)和(8,0)在函數(shù)圖象上,以及f(x)的最大值為16,代入函數(shù)解析式和頂點的縱坐標(biāo),列出方程組求出a、b、c的值;
(2)由圖知先求出聯(lián)立直線l1與f(x)的方程,求出它們圖象的交點坐標(biāo),再根據(jù)定積分的幾何意義求出陰影部分的面積.
解答:解:(1)由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16
c=0
a•82+b•8+c=0
4ac-b2
4a
=16
解之得:
a=-1
b=8
c=0
,
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=-x2+8x
(2)由
y=-t2+8t
y=-x2+8x
得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t,
∵0≤t≤2,∴直線l1與f(x)的圖象的交點坐標(biāo)為(t,-t2+8t)
由定積分的幾何意義知:S(t)=
t
0
[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+
2
t
[(-x2+8x)-(-t2+8t]dx

=[(-t2+8t)x-(-
x3
3
+4x2)] |_t+[(-
x3
3
+4x2)-(-t2+8t)•x] 
|
2
t

=-
4
3
t3+10t2-16t+
40
3
點評:本題考查了由圖象求函數(shù)的解析式和陰影部分的面積,即根據(jù)點在圖象上則點的坐標(biāo)滿足方程求解析式,用定積分求面積時應(yīng)先求出交點的坐標(biāo),考查了讀圖能力和數(shù)形結(jié)合思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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