Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x）+f（y）=f（x+y），當x＞0時f（x）＞0．
（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若f（1）=3，解不等式f（2x-1）＞3．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差，利用所給恒等式進行變形，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，
進而證明出f（x）的單調(diào)性；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，解得即可．

解答： 證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增． 
（2）∵f（1）=3，f（2x-1）＞3．
∴f（2x-1）＞f（1），
∵函數(shù)f（x）為增函數(shù)
∴2x-1＞1，
解得x＞1，
故原不等式的解集為（1，+∞）

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)表達式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法