Question

對于曲線y=f（x），若存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側(cè)，則稱曲線y=f（x）為半面曲線．下列曲線中是半面曲線的序號為

 

（填上所有正確的序號）
①y=

1

x

②y=x³ ③y=x⁴+x³ ④y=x+

1

x

 ⑤y=ln|x|⑥y=xsin

1

x

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)新定義，關(guān)鍵是判斷每個函數(shù)是否有最值，通過最值即可判斷是否存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側(cè)，則稱曲線y=f（x）為半面曲線．下

解答： 解：①y=

1

x

的定義域?yàn)楹椭涤蚓鶠椋?∞，0）∪（0，+∞）無最大值或最小值，故不存在
②y=x³的定義域?yàn)楹椭涤蚓鶠镽，無最大值或最小值，故不存在
③∵y=x⁴+x³，y′=4x³+3x²=x²（4x+3），
令y′=0，解得x=0，或x=-

3

4

，
當(dāng)y′＞0，即x＞-

3

4

，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)y′＜0，即x＞-

3

4

，函數(shù)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=-

3

4

，函數(shù)有最小值，
故存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側(cè)
④y=x+

1

x

無最大值或最小值，故不存在
⑤y=ln|x|無最大值或最小值，故不存在
⑥y=xsin

1

x

．圖象如圖所示

故存在直線I使得曲線 y=f（x）位于直線l的同一側(cè)
故答案為：③⑥

點(diǎn)評：本題考查了新定義，主要是求出函數(shù)的最值，屬于中檔題