Question

（2010•眉山一模）根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)y=f（x），構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：①輸入數(shù)據(jù)x₀∈A，計(jì)算出x=f（x₀）；②若x₁∉A，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈A，則輸出x₁，并將x₁反饋回輸入端，再計(jì)算出x₂=f（x₁），依次規(guī)律繼續(xù)下去．若集合A={x|0＜x＜1}，f(x)=

mx

m+1-x

(m∈N*)
（Ⅰ）求證：x∈A時(shí)，f（x）∈A．
（Ⅱ）求證：對(duì)任意x₀∈A，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列去{x_n}
（Ⅲ）若x0=

1

2

，記an=

1

xn

（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)x∈A，即0＜x＜1時(shí)，由m∈N^*，知m+1-x＞0．所以f(x)= 

mx

m+1-x

＞0，由

mx

m+1-x

-1=

(m+1)(x-1)

m+1-x

＜0，能夠證明f（x）∈A．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對(duì)任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，由x₁∈A，可得x₂=f（x₁）∈A，由x₂∈A，可得x₃=f（x₂）∈A，
依此規(guī)律繼續(xù)下去，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}．
（Ⅲ）由xn+1=f(xn) =

mxn

m+1-xn

(m∈N*)，得

1

xn+1

=

m+1

m

•

1

xn

- 

1

m

．所以an+1-1=

m+1

m

(an-1)，因?yàn)?span id="gkckyym" class="MathJye">a1-1=

1

x1

-1=

m+1-x0

mx0

-1=

m+1

m

≠0，所以{a_n-1}是首項(xiàng)為

m-1

m

，公比為

m+1

m

的等比數(shù)列．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：（Ⅰ）證明：當(dāng)x∈A，即0＜x＜1時(shí)，
∵m∈N^*，
∴m+1-x＞0．
∴f(x)= 

mx

m+1-x

＞0，
∵

mx

m+1-x

-1=

(m+1)(x-1)

m+1-x

＜0，
∴f(x)=

mx

m+1-x

＜1，
∴f（x）∈A．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，對(duì)任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，
由x₁∈A，可得x₂=f（x₁）∈A，
由x₂∈A，可得x₃=f（x₂）∈A，
依此規(guī)律繼續(xù)下去，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}．
（Ⅲ）解：由xn+1=f(xn) =

mxn

m+1-xn

(m∈N*)，
可得

1

xn+1

=

m+1

m

•

1

xn

- 

1

m

．
∴an+1=

1

xn+1

=

m+1

m

•an-

1

m

，
即an+1-1=

m+1

m

(an-1)，
∵a1-1=

1

x1

-1=

m+1-x0

mx0

-1=

m+1

m

≠0，
∴{a_n-1}是首項(xiàng)為

m-1

m

，公比為

m+1

m

的等比數(shù)列．
∴an-1=(

m+1

2m

)n，
∴an=(

m+1

m

)n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題首先考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．