如圖：在三棱錐中，是直角三角形，

，，點、分別為、的中點．

   （Ⅰ）求證：；

   （Ⅱ）求直線與平面所成的角的大��；

   （Ⅲ）求二面角的正切值．

解法一:（Ⅰ） 連結BD．在中，.

       ∵，點為AC的中點，∴．

       又∵即BD為PD在平面ABC內(nèi)的射影，

       ∴．

       ∵分別為的中點,∴,

       ∴．

   （Ⅱ）∵∴．

       連結交于點，∵，,∴，

       ∴為直線與平面所成的角，.

       ∵∴，，又∵，

       ∴.∵，∴，

       ∴在Rt△中，，∴．

   （Ⅲ）過點作于點F，連結，∵

       ∴即BM為EM在平面PBC內(nèi)的射影，

       ∴∴為二面角的平面角．

       ∵中，,∴．

       解法二：建立空間直角坐標系B―xyz，如圖，

       則，，，，.

   （Ⅰ）∵，，

       ∴ ∴.

   （Ⅱ）由已知可得，為平面的法向量，

       ,

∴ ，

       ∴直線與面所成角的正弦值為.

       ∴直線與面所成的角為.

   （Ⅲ）設平面PEF的一個法向量為a，∵，

       ∴令，∴ a

       由已知可得，向量為平面PBF的一個法向量，

       ∴  a ，∴ a .

       ∴二面角的正切值為.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

（Ⅰ）證明：AB⊥PC

（Ⅱ）若，且平面⊥平面，     

求三棱錐體積。

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐中，是正三角形，，D是的中點，二面角為120，，.取AC的中點O為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，BD交z軸于點E.

（I）求B、D、P三點的坐標；

（II）求異面直線AB與PC所成的角；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐中，⊿是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 ??.

（1）證明：AB⊥PC；

（2）若，且平面⊥平面，求三棱錐體積.

 


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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

如圖：在三棱錐中，是直角三角形，，，點、分別為、的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的大��；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

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