Question

直角三角形ABC中，C=

π

2

，AC=2，BC=4．已知

CP

=λ(

AB

+

AC

)，則

PA

•

PB

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：以直角三角形的直角C為坐標原點，以兩條直角邊為坐標軸建立直角坐標系，利用

CP

=λ(

AB

+

AC

)，可以求出點P的坐標，求出

PA

•

PB

的關(guān)系式，利用二次函數(shù)求最值，即可求得答案．

解答：解：以直角三角形的直角C為坐標原點，以兩條直角邊為坐標軸建立直角坐標系如圖所示，
∵AC=2，BC=4，
∴C（0，0），A（0，2），B（4，0），
∴

AB

=（4，-2），

AC

=（0，-2），
故

AB

+

AC

=（4，-4），
設(shè)點P的坐標為（x，y），則

CP

=（x，y），
∵

CP

=λ(

AB

+

AC

)，則（x，y）=λ（4，-4），
∴x=4λ，y=-4λ，即P（4λ，-4λ），
∴

PA

=(-4λ，2+4λ)，

PB

=(4-4λ，4λ)，
∴

PA

•

PB

=-4λ（4-4λ）+4λ（2+4λ）=32λ²-8λ=32（λ-

1

8

）²-

1

2

，
故當λ=

1

8

時，

PA

•

PB

取最小值為-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，解決平面向量數(shù)量積的問題，一般有三種方法：向量轉(zhuǎn)化法，坐標化法，特殊值法．運用轉(zhuǎn)化法求解的關(guān)鍵是運用向量加法和減法的三角形法則或平行四邊形法則，將要求的向量一步一步向已知的向量轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．