Question

9．某工廠在2016年的“減員增效”中對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100%，從第二年初，以后每年只能在原單位按上一年的$\frac{2}{3}$領(lǐng)取工資，該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長(zhǎng)，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50%，如果某人分流后工資的收入每年a元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第n年的收入為a_n元；
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)$b≥\frac{3a}{8}$時(shí)，是否一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入？

Answer 1

分析 （1）由題意可得：n=1時(shí)，a₁=a．n≥2時(shí)，a_n=a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$b×（\frac{3}{2}）^{n-2}$．即可得出a_n．
（2）$b≥\frac{3a}{8}$時(shí)，n≥2時(shí)，a_n=a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$b×（\frac{3}{2}）^{n-2}$≥a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$\frac{3a}{8}$$（\frac{3}{2}）^{n-2}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得：n=1時(shí)，a₁=a．n≥2時(shí)，a_n=a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$b×（\frac{3}{2}）^{n-2}$．
因此a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=1}\\{a×（\frac{2}{3}）^{n-1}+b×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）$b≥\frac{3a}{8}$時(shí)，n≥2時(shí)，a_n=a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$b×（\frac{3}{2}）^{n-2}$≥a×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$\frac{3a}{8}$$（\frac{3}{2}）^{n-2}$≥a×2$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{n-1}×\frac{3}{8}（\frac{3}{2}）^{n-2}}$=a，
因此當(dāng)$b≥\frac{3a}{8}$時(shí)，一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．