Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+2，g（x）=

x+ 1 x   x＞0 -x2-4x-2   x≤0

，則方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的根的個(gè)數(shù)不可能為（　�。�

• A、6個(gè)
• B、5個(gè)
• C、4個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知中函數(shù)的解析式，我們易求出f（x）與y=a的交點(diǎn)情況為：當(dāng)a＞2時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a=2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)；g（x）與y=a的交點(diǎn)情況為：當(dāng)a＞2時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a=2時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)．分類討論后，即可得到方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的根的個(gè)數(shù)所有的情況，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+2，
畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：

我們易求出f（x）與y=a的交點(diǎn)情況為：
當(dāng)a＞2時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)；
g（x）=

x+ 1 x ，x＞0 -x2-4x-2，x≤0

，
畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象，如圖示：

我們易求出g（x）與y=a的交點(diǎn)情況為：
當(dāng)a＞2時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=2時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；
∴方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的根的個(gè)數(shù)可能為：
4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，
不可能為3個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中分析內(nèi)外函數(shù)的圖象是解答本題的關(guān)鍵．