Question

設(shè)集合A={（x，y）|y=ax+b}，B={（x，y）|y=3x²+15}，C={（x，y）|x²+y²≤144}，問：是否存在實數(shù)a，b使得A∩B≠∅和（a，b）∈C同時成立．

Answer 1

分析：由集合A和B交集不為空集，可聯(lián)立兩集合中的兩函數(shù)解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，此方程有解，得到根據(jù)的判別式大于等于0，列出關(guān)于a與b的不等式，記作①，又（a，b）屬于集合C，把（a，b）代入集合C中的不等式得到關(guān)于a與b的不等式，記作②，由不等式的性質(zhì)得到（b-6）²≤0，進(jìn)而得到b=6，把b的值代入①和②可求出a的值，進(jìn)而求出A∩B≠φ 和（a，b）∈C同時成立時a與b的值．

解答：解：由

y=ax+b y=3x2+15

，
消去y得：3x²-ax-b+15=0，
若A∩B≠φ，則由△≥0得：a²≥12（15-b），①
若（a，b）∈C，則a²+b²≤144，
∴a²≤144-b²，②
由144-b²≥12（15-b），即（b-6）²≤0，
∴b=6，
代入①，②得108≤a²≤108，
∴a²=108，∴a=±6

3

，
∴當(dāng)a=±6

3

且b=6時，A∩B≠φ 和（a，b）∈C同時成立．

點評：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，元素與集合的關(guān)系，以及交集、空集的意義，解題時注意運用完全平方式為非負(fù)數(shù)，以及不等式的基本性質(zhì)來解決問題．