Question

在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為.

(1)求拋物線C的方程；

(2)是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）x2＝2y （2）存在，M(，1)

【解析】(1)依題意知F(0，)，圓心Q在線段OF的垂直平分線y＝上，

因為拋物線C的準線方程為y＝－，

所以＝，即p＝1.

因此拋物線C的方程為x2＝2y.

(2)假設(shè)存在點M(x0，)(x0>0)滿足條件，拋物線C在點M處的切線斜率為y′|x＝x0＝()′|x＝x0＝x0，

所以直線MQ的方程為y－＝x0(x－x0)．

令y＝得xQ＝＋，

所以Q(＋，)．

又|QM|＝|OQ|，

故(－)2＋(－)2＝(＋)2＋，

因此(－)2＝.

又x0>0，所以x0＝，此時M(，1)．

故存在點M(，1)，使得直線MQ與拋物線C相切于點M.