Question

已知不等式ax²＞3x-2的解集為{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a，b；
（2）解不等式acx²-（ac+b）x+b＜0．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由一元二次不等式與對應(yīng)方程的實數(shù)集之間的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出a、b的值；
（2）由（1）的結(jié)論，化簡不等式acx²-（ac+b）x+b＜0，討論c的取值，解含有字母系數(shù)的不等式即可．

解答： 解：（1）∵不等式ax²＞3x-2的解集為{x|x＜1或x＞b}，
∴x₁=1與x₂=b是方程ax²-3x+2=0的兩個實數(shù)根，且b＞1，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得

1+b= 3 a 1×b= 2 a

；
解得a=1，b=2；
（2）由（1）知，不等式acx²-（ac+b）x+b＜0可化為不等式cx²-（c+2）x+2＜0，
即（cx-2）（x-1）＜0；
①當(dāng)c=0時，不等式為x-1＞0，解集為{x|x＞1}；
②當(dāng)c＞0時，不等式為（x-

2

c

）（x-1）＜0，
（i）c=2時，解集為Φ，
（ii）c＞2時，

2

c

＜1，此時解集為{x|

2

c

＜x＜1}，
（iii）0＜c＜2時，

2

c

＞1，此時解集為{x|1＜x＜

2

c

}；
③當(dāng)c＜0時，不等式為（x-

2

c

）（x-1）＞0，此時不等式解集為{x|x＞1，或x＜

2

c

}；
綜上，c＜0時，解集為{x|x＞1，或x＜

2

c

}，
c=0時，解集為{x|x＞1}，
0＜c＜2時，解集為{x|1＜x＜

2

c

}，
c=2時，解集為Φ，
c＞2時，解集為{x|

2

c

＜x＜1}．

點評：本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)的方程解的關(guān)系，考查了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．