Question

【題目】已知動圓M過定點P（1，0），且與直線x=﹣1相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩點，且 =0，求證：直線AB過定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），

M到直線x=﹣1的距離為|x+1|，又|PM|= ，

∴|x+1|= ，兩邊平方得x2+2x+1=x2﹣2x+1+y2，

∴y2=4x．

∴動圓圓心M的軌跡C的方程為y2=4x

（2）解：設(shè)直線AB為：x=ty+m，

聯(lián)立方程組 ，消元得y2﹣4ty﹣4m=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4t，y1y2=﹣4m．

∴x1x2=（ty1+m）（ty2+m）=t2y1y2+mt（y1+y2）+m2，

∴ =x1x2+y1y2=﹣4mt2+4mt2+m2﹣4m=m2﹣4m=0，

解得m=4或m=0（舍）．

∴直線AB恒過定點（4，0）

【解析】（1）設(shè)M（x，y）求出PM和M到切線x=﹣1的距離，列出方程整理化簡即可得出軌跡方程；（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+m，聯(lián)立方程組消元，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系計算x1x2 ， y1y2 ， 令x1x2+y1y2=0即可得出m，得出AB的定點坐標(biāo)．