Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為a，公差d=2，前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）若S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對n∈N^*，a∈R，S_n•S_n+2-S_n+1²＜0成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求出a，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的qiann項(xiàng)和，計(jì)算S_n•S_n+2-S_n+1²的值，證明小于0即可．

解答： 解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為a，公差d=2，前n項(xiàng)和為S_n=na+n（n-1）=n²+（a-1）n．
S₁=a，S₂=2a+2，S₄=4a+12，S₁，S₂，S₄等比數(shù)列，∴（2a+2）²=a（4a+12），解得a=1，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）S_n=n²+（a-1）n，
對n∈N^*，a∈R，
S_n•S_n+2-S_n+1²=[n²+（a-1）n][（n+2）²+（a-1）（n+2）]-[（n+1）²+（a-1）（n+1）]²
=n（n+2）[（n+a）²-1]-（n+1）²（n+a）²
=-（n+a）²-n（n+2）＜0．
∴對n∈N^*，a∈R，S_n•S_n+2-S_n+1²＜0成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．