Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，平面，點(diǎn)在棱上.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若直線(xiàn)平面，求此時(shí)三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

(I)先利用正弦定理以及三角形內(nèi)角和定理證明,結(jié)合可得平面，由此能證明平面平面；(II)連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié) ,可證明，由=，由此能求出三棱推的體積.

（Ⅰ）因?yàn)锳B⊥平面PAD，

所以AB⊥DP，

又因?yàn)?/span>，AP=2，∠PAD=60°，

由，可得，所以∠PDA=30°，

所以∠APD=90°，即DP⊥AP，

因?yàn)?/span>，所以DP⊥平面PAB，

因?yàn)?/span>，所以平面PAB⊥平面PCD

（Ⅱ）連結(jié)AC，與BD交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，因?yàn)镻A//平面MBD，

MN為平面PAC與平面MBD的交線(xiàn)，所以PA//MN，

所以，

在四邊形ABCD中，因?yàn)锳B//CD，所以，

所以，，.

因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以AB⊥AD，且平面APD⊥平面ABCD，

在平面PAD中，作PO⊥AD，則PO⊥平面ABCD，

因?yàn)?/span>，

所以

因?yàn)镃D=3.所以，

所以.