Question

3．已知a，b，c分別是銳角△ABC單個內(nèi)角A，B，C的所對的邊，且$\sqrt{3}$a=2csinA．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，a+b=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由$\sqrt{3}$a=2csinA，由正弦定理可得：$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，化簡整理即可得出；
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，化為7=（a+b）²-3ab=25-3ab，可得ab=6，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（I）∵$\sqrt{3}$a=2csinA，
由正弦定理可得：$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C為銳角，∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴7=（a+b）²-3ab=25-3ab，化為ab=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查正、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了考生運算求解的能力，屬于中檔題．