【題目】已知0<x<1,0<y<1, 求證 + + + ≥2 ,并求使等號(hào)成立的條件.
【答案】證明:∵0<x<1,0<y<1,設(shè)P(x,y),A(1,0),B(1,1),C(0,1),如圖: 則|PO|= ,|PA|= ,|PB|= ,|PC|= ,
∵|PO|+|PB|≥|BO|= ,|PA|+|PC|≥|AC|=
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2 (當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正方形的對(duì)角線AC與OB的交點(diǎn)是取等號(hào)),
即x=y= 時(shí)取等號(hào).
∴ + + + .
【解析】依題意,作圖如下,利用兩點(diǎn)間的距離公式可知|PO|= ,|PA|= ,|PB|= ,|PC|= ,利用三角不等式可證|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二維形式的柯西不等式的相關(guān)知識(shí),掌握二維形式的柯西不等式:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)調(diào)查,某地區(qū)有300萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民,人均年收入6000元,為了增加農(nóng)民的收入,當(dāng)?shù)卣e極引進(jìn)資本,建立各種加工企業(yè),對(duì)當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行深加工,同時(shí)吸收當(dāng)?shù)夭糠洲r(nóng)民進(jìn)入加工企業(yè)工作,據(jù)估計(jì),如果有萬人進(jìn)企業(yè)工作,那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均年收入有望提高,而進(jìn)入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均年收入為元.
(1)在建立加工企業(yè)后,多少農(nóng)民進(jìn)入企業(yè)工作,能夠使剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)農(nóng)民的總收入最大,并求出最大值;
(2)為了保證傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的順利進(jìn)行,限制農(nóng)民加入加工企業(yè)的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的,當(dāng)?shù)卣绾我龑?dǎo)農(nóng)民,即取何值時(shí),能使300萬農(nóng)民的年總收入最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列命題中,①的一個(gè)充要條件是與它的共軛復(fù)數(shù)相等:
②利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考查兩個(gè)分類變量,是否有關(guān)系,當(dāng)隨機(jī)變量的觀測(cè)值值越大,“與有關(guān)系”成立的可能性越大;
③在回歸分析模型中,若相關(guān)指數(shù)越大,則殘差平方和越小,模型的擬合效果越好;
④若,是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù),則是純虛數(shù);
⑤某校高三共有個(gè)班,班有人,班有人,班有人,由此推測(cè)各班都超過人,這個(gè)推理過程是演繹推理.
其中真命題的序號(hào)為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),計(jì)算可得f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,推測(cè)當(dāng)n≥2時(shí),有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A<0,ω>0,|φ|≤ )圖象的一部分.為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只要將y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
B.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
C.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
D.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,直線l:,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
若圓心C也在直線上,過A作圓C的切線,求切線方程;
若圓C上存在點(diǎn)M,使,求圓心C的橫坐標(biāo)a取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:
廣告費(fèi)用x(萬元) | 1 | 2 | 4 | 5 |
銷售額y(萬元) | 6 | 14 | 28 | 32 |
根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)可以求得線性回歸方程 = x+ 中的 為6.6,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為10萬元時(shí)銷售額為( )
A.66.2萬元
B.66.4萬元
C.66.8萬元
D.67.6萬元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)為調(diào)查來自南方和北方的同齡大學(xué)生的身高差異,從2016級(jí)的年齡在18~19歲之間的大學(xué)生中隨機(jī)抽取了來自南方和北方的大學(xué)生各10名,測(cè)量他們的身高,量出的身高如下(單位:cm):
南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.
北方:183,173,169,163,179,171,157,175,184,166.
(1)根據(jù)抽測(cè)結(jié)果,畫出莖葉圖,對(duì)來自南方和北方的大學(xué)生的身高作比較,寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.
(2)設(shè)抽測(cè)的10名南方大學(xué)生的平均身高為cm,將10名南方大學(xué)生的身高依次輸入如圖所示的程序框圖進(jìn)行運(yùn)算,問輸出的s大小為多少?并說明s的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。
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