Question

設(shè)直線l：2x+y+2=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為L(zhǎng)′，若L′與橢圓x2+

y2

4

=1的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為

2

-1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：取直線l：2x+y+2=0的兩點(diǎn)：（-1，0），（0，-2）．求出此兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，此兩點(diǎn)在直線L′上，即可得到直線L′的方程．與橢圓方程聯(lián)立解得A，B的坐標(biāo)．即可得到|AB|．設(shè)P（cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π）．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)P到直線L′的距離d．利用S△PAB=

1

2

|AB|•d=

2

-1，解出θ值的個(gè)數(shù)即可．

解答：解：取直線l：2x+y+2=0的兩點(diǎn)：（-1，0），（0，-2）．則此兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)分別為（1，0），（0，2）．此兩點(diǎn)在直線L′上，因此直線L′的方程為：

x

1

+

y

2

=1，即2x+y-2=0．
聯(lián)立

2x+y-2=0 x2+ y2 4 =1

，解得

x=1 y=0

或

x=0 y=2

．
取A（1，0），B（0，2），|AB|=

1+22

=

5

．
設(shè)P（cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π）．
則點(diǎn)P到直線L′的距離d=

|2cosθ+2sinθ-2|

5

．
∴S△PAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

5

×

|2cosθ+2sinθ-2|

5

=

2

-1．
化為|

2

sin(θ+

π

4

)-1|=

2

-1，
∴

2

sin(θ+

π

4

)-1=

2

-1或

2

sin(θ+

π

4

)-1=-(

2

-1)，
∴sin(θ+

π

4

)=1或sin(θ+

π

4

)=

2

-1．
∵θ∈[0，2π），∴(θ+

π

4

)∈[

π

4

，

9π

4

)．
∴θ=

π

4

或θ+

π

4

=arcsin(

2

-1)或θ+

π

4

=π-arcsin(

2

-1)，
因此存在三個(gè)點(diǎn)P使△PAB的面積為

2

-1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程組的解、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的參數(shù)方程、中心對(duì)稱等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．