已知非零向量
a
，
b
滿足
a
+3
b
與7
a
-5
b
互相垂直，
a
-4
b
與7
a
-2
b
互相垂直，則
a
與
b
的夾角為
π
3
π
3
．
分析：由題意可得
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0     ①
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0        ②
，聯(lián)立可解得
b
2=2
a
•
b
，|
a
|=|
b
|，代入向量的夾角公式可得其余弦值，由夾角的范圍可得．
解答：解：設(shè)
a
與
b
的夾角為θ，θ∈[0，π]
由題意可得
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0
，
即
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0     ①
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0        ②
，
②-①可得23
b
2-46
a
•
b
=0，即
b
2=2
a
•
b
，
再代入①可得
a
2=
b
2，即|
a
|=|
b
|，
∴cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
，又θ∈[0，π]
∴θ=
π
3

故答案為：
π
3
點評：本題考查向量的夾角與向量的數(shù)量積的關(guān)系，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
e1
，
e2
，
a
，
b
滿足
a
=2
e1
-
e2
，
b
=k
e1
+
e2
．
（1）若
e1
與
e2
不共線，
a
與
b
是共線，求實數(shù)k的值；
（2）是否存在實數(shù)k，使得
a
與
b
不共線，
e1
與
e2
是共線？若存在，求出k的值，否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
AB
與
AC
滿足（
AB
|
AB|
+
AC
|
AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB|
•
AC
|
AC|
=-
1
2
，則△ABC為（　�。�
A、等腰非等邊三角形
B、等邊三角形
C、三邊均不相等的三角形
D、直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
AB
與
AC
滿足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
).
BC
=0且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
． 則△ABC為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年四川省成都市高三第一次模擬文科數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

已知非零向量、、、滿足：=++g（，，gR），B、C、D為不共線三點，給出下列命題：

①若=，=，g，則A、B、C、D四點在同一平面上；

②若==g，|+||+||=1，<,>=<,>=，<,>=，則||=2；

③已知正項等差數(shù)列{an}(n，若a2，=a2009，g，且A、B、C三點共線，但O點不在直線BC上，則的最小值為10；

④若=，=，g，則A、B、C三點共線且A分所成的比一定為4

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省成都市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知非零向量、、、滿足：=αZ+βZ+γZ（α，β，γ∈R），B、C、D為不共線三點，給出下列命題：
①若α=，β=，γ=-1，則A、B、C、D四點在同一平面上；
②若α=β=γ=1，|Z|+||+||=1，＜，＞=＜，＞=，＜，＞=，則||=2；
③已知正項等差數(shù)列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三點共線，但O點不在直線BC上，則的最小值為10；
④若α=，β=-Z，γ=0，則A、B、C三點共線且A分所成的比λ一定為-4
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號是    ．

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