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9.如圖為一簡單組合體,其底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2.
(1)請在方框內(nèi)畫出該幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖;
(2)求證:BE∥平面PDA.
(3)求二面角A-PB-E的余弦值.

分析 (1)按照三視圖所在的平面兩兩垂直,看不見的線用虛線,看得見的用實線畫出.
(2)由EC∥PD,得EC∥平面PDA,同時,有BC∥平面PDA,因為EC?平面EBC,BC?平面EBC且EC∩BC=C,得到平面BEC∥平面PDA,進而有BE∥平面PDA.
(3)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-PB-E的余弦值.

解答 解:(1)該組合體的主視圖和側(cè)視圖如圖示:
證明:(2)∵EC∥PD,PD?平面PDA,EC?平面PDA,
∴EC∥平面PDA,
同理可得BC∥平面PDA,
∵EC?平面EBC,BC?平面EBC,且EC∩BC=C,
∴平面BEC∥平面PDA,
又∵BE?平面EBC,∴BE∥平面PDA.
解:(3)∵底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PC,且PD=AD=2EC=2,
∴以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標系,
A(2,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,2,1),
PA=(2,0,-2),PB=(2,2,-2),PE=(0,2,-1),
設(shè)平面APB的法向量n=(x,y,z),
{nPA=2x2z=0nPB=2x+2y2z=0,取x=1,得n=(1,0,1),
設(shè)平面PBE的法向量m=(a,b,c),
{mPB=2a+2b2c=0mPE=2bc=0,取b=1,得m=(1,1,2),
設(shè)二面角A-PB-E的平面角為θ,
則cosθ=|mn||m||n|=326=32
∴二面角A-PB-E的余弦值為32

點評 本題主要考查空間幾何體的三視圖,二面角的余弦值和線線,線面,面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化,考查很全面,靈活,屬中檔題.

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